ВОЛНЫ, КОЧКИ, ПОРТАЛЫ И МАГИЯ ИСЧЕЗНОВЕНИЯ
Ну, это было лирическое отступление, а сейчас приступим к новой лекции.
Сегодня последняя лекция первого модуля, в рамках которого мы вспоминаем элементарные функции (а некоторые, может, заново знакомятся с ними, потому как основательно их забыли) и применяем к ним магию преобразования разного вида.
Нам осталось рассмотреть тригонометрические функции. Их четыре:
Думаю, вы помните, как они называются, но всё же напомню для тех, кто, может быть, подзабыл: это синус, косинус, тангенс и котангенс. Причём две последние выражаются через первые две:
Я рассмотрю на уроке подробно функции синуса и котангенса, а вам останется в домашнем задании по аналогии провести исследование двух оставшихся функций.
Думаю, надо вкратце напомнить, что такое есть синус и косинус. Начертим единичную окружность — окружность, радиус которой равен 1. И пустим вращаться по этой окружности точку.
А теперь попробуем применить к этой функции уже известные вам виды магии преобразования.
Сначала добавим какое-то число к х:
y = sin(x+a)
Помните, что происходит с графиками при таком преобразовании? Да-да, эта магия вызывает горизонтальный перенос графика вдоль оси ОХ. Причём, если а>0, то график сдвигается влево. Если a
На рисунке я сдвинула график вправо на π/6, значит, функция имеет вид:
y = sin(x-π/6)
Но что интересно: если сдвинуть функцию на π/2 влево, то мы получим график косинуса, т.е.
sin(x+π/2) = cos(x)
А теперь применим магию вертикального сдвига. Добавим какое-то число в качестве слагаемого к самому синусу:
y = sin(x+a) + b
График сдвинется на b единиц вверх, если b>0, или вниз, если b Перенесу тот график, который я сдвигала на π/6 вправо, на 0.5 единиц вниз:
y = sin(x-π/6)-0,5
Если изначально множество значений представляло собой промежуток [-1; 1], то после вертикально сдвига он стал равным [-1+b; 1+b]. В нашем случае [-1,5; 0,5].
Впрочем, ширина «коридора» не изменилась и по-прежнему составляет 2 единицы.
Неужели синусу предназначено всё время томиться в «узком коридоре» шириной 2 единицы? Оказывается, есть ещё один вид магии, который позволяет расширить этот «коридор». Совсем его убрать не получается, но сделать шире — вполне можно. Достаточно добавить число перед самим синусом в качестве множителя.
Чем больше число k, тем шире получается «коридор», внутри которого колеблется наша синусовая волна. Однако, можно и значительно уменьшить этот «коридор» с помощью маленького по величине множителя перед синусом.
В нашем случае k=2.
Какую магию мы ещё можем испробовать? Магию минуса. Этот вид магии те части графика, которые находятся выше оси ОХ, опускает вниз, а нижние — поднимает наверх. Другими словами, график функции отражается относительно оси ОХ.
Кстати, функция синуса — нечётная, т.е sin(-x) = — sin(x). А вот функция косинуса — чётная: cos(-x) = cos(x). Это замечание вам поможет при выполнении домашней работы.
Магия функций и интегралов. Тригонометрические функции
Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)
Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:
Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:
Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла
Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла
Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица
Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла
Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.
Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла
Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций
Тригонометрические тождества преобразования половины угла
Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.
Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.
Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:
Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.
Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.
Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.
Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.
Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.
Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций
Следовательно, значения Sin и Cos периодически повторяются при изменении аргумента на 2 π .
Такие функции называются периодическими с периодом 2 π .
Функция f(x) называется периодической , если существует такое число T ≠ 0 , что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство
Функция y = cos x
Графиком функции у = cos x является косинусоида
ПОКАЖЕМ, ЧТО ЧИСЛО 2 Π ЯВЛЯЕТСЯ НАИМЕНЬШИМ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ ПЕРИОДОМ ФУНКЦИИ Y = COS X.
Пусть Т › 0 – период косинуса, т.е. для любого x выполняется равенство
Cos (x + T) = Cos x. Положив x = 0 , получим Cos T = 1. Отсюда T = 2 π k, k є Ζ . Так как Т › 0, то Т может принимать значения 2 π , 4 π , 6 π , …, и поэтому период не может быть меньше 2 π .
Функция y=sin x и ее свойства
Графиком функции y=sin x является синусоида
