Тригонометрические кривые. Синусоида. Косинусоида. Тангенсоида. Котангенсоида.
-
Тригонометрические кривые. Синусоида. Косинусоида. Тангенсоида. Котангенсоида.
Все углы А по умолчанию приведены в градусах. Все таблицы значений и формулы синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов (здесь). Во всех формулах пределов и разложений в ряд — углы в радианах.
Графики функций y=sinA, y=cosA, y=tgA,построенные для диапазона от 0 o до 360 o , показаны на рисунках ниже.
- Графики синуса и косинуса колеблются в пределах между -1 и 1
- Кривая косинуса имеет ту же форму, что и кривая синуса, но сдвинута относительно нее на 90 o
- Кривые синуса и косинуса непрерывны и повторяются с периодом 360 o , кривая тангенса имеет разрывы и повторяется с периодом 180 o .
На рис. слева показаны перпендикулярные оси ХХ’ и YY’; пересекающиеся в начале координат О. При работе с графиками измерения вправо и вверх от О считаются положительными, влево и вниз от О — отрицательными. Пусть ОА свободно вращается относительно О. При повороте ОА против часовой стрелки измеряемый угол считается положительным, а при повороте по часовой стрелке — отрицательным.
График. Положительное или отрицательное
направление при движении по окружности.
Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ4— любой угол в четвертом квадранте, и построим АЕ так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАЕ. Тогда sin Θ4= -/+= -; cos Θ4=+/+=+; tg Θ4= -/+= -.
В первом квадранте все тригонометрические функции имеют положительные значения, во втором положителен только синус, в третьем — только тангенс, в четвертом только косинус, что и показано на рис. слева.
Будьте внимательны! Калькулятор дает только одно из этих значений. Второе значение следует определить согласно теории углов произвольной величины.
График. Нахождение всех углов по
заданному значению синуса (пример)
Найти все углы в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071
Решение:
Углы, синус которых равен -0,7071 o находятся в третьем и четвертом квадранте, поскольку синус отрицателен в этих квадрантах (смотри рис. слева).
График. Нахождение всех углов по
заданному значению синуса (пример)
Из следующего рисунка Θ = arcsin 0,7071 = 45 o . Два угла в диапазоне от 0 o до 360 o , синус которых равен -0,7071, это 180 o +45 o =225 o и 360 o — 45 o = 315 o .
Примечание. Калькулятор дает только один ответ.
График. Нахождение всех углов по
заданному значению синуса (пример)
Найти все углы между 0 o и 360 o , тангенс которых равен 1, 327.
Решение:
Тангенс положителен в первом и третьем квадрантах — рис. слева.
График. Нахождение всех углов по
заданному значению тангенса (пример)
| График. y=sinA и y=sin2A (синусоиды). | График. y=sinA и y=sin(1/2)A (синусоиды). |
| График. y=cosA и y=cos2A (косинусоиды). | График. y=cosA и y=cos(1/2)A (косинусоиды). |
Тригонометрические кривые. Синусоида. Косинусоида. Тангенсоида. Котангенсоида. таблицы
Что такое косинус и синус угла
Как видно из рисунка, величина тригонометрических функций зависит от угла между осью Х и прямой, проведенной из центра координат.
На рисунке угол равен 45 градусам. При таком значении угла синус равен косинусу (0,7071).
Если угол равен 0 градусов (прямая совпадает с осью Х), то косинус равен 1, а синус равен 0. Если угол равен 90 градусов (прямая совпадает с осью Y), то косинус равен 0, а синус равен 1.
В любом случае значения этих функций лежат в пределах от –1 до +1 включительно. Например, синус 30 градусов равен 0,5. В этом случае значение 0,5 – это так называемая обратная функция. Если необходимо указать, что функция является обратной, то к названию функции добавляют приставку arc. Пример (в функции cos угол указан в градусах):
Остальные тригонометрические функции – это выражения, содержащие синус и/или косинус:
И хотя в Паскале есть функции для вычисления других тригонометрических функций, вы можете вполне обойтись без них, используя приведённые выше формулы.
И теперь у вас достаточно знаний, чтобы написать какую-нибудь свою полезную программку для вычисления тригонометрических функций. Это требуется очень часто студентам, школьникам и инженерам.
Секаны и косканы.
Cos Это Ось x Или y
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 9 класс>>Математика: Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики
Функции у = sin х, у = cos x, их свойства и графики
В этом параграфе мы обсудим некоторые свойства функций у = sin х,у = соs х и построим их графики.
Выше, в § 20, мы сформулировали правило, позволяющее каждому числу t поставить в соответствие число cos t, т.е. охарактеризовали функцию y = sin t. Отметим некоторые ее свойства.
Область определения — множество К действительных чисел.
Это следует из того, что любому числу 2 соответствует на числовой окружности точка М(1), которая имеет вполне определенную ординату; эта ордината и есть cos t.
Это следует из того, что, как было доказано в § 19, для любого t выполняется равенство
Значит, график функции и = sin t, как график любой нечетной функции, симметричен относительно начала координат в прямоугольной системе координат tOи.
Функция u = sin t возрастает на отрезке
Это следует из того, что при движении точки по первой четверти числовой окружности ордината постепенно увеличивается (от 0 до 1 — см. рис. 115), а при движении точки по второй четверти числовой окружности ордината постепенно уменьшается (от 1 до 0 — см. рис. 116).
Функция u = sin t ограничена и снизу, и сверху. Это следует из того, что, как мы видели в § 19, для любого t справедливо неравенство
(этого значения функция достигает в любои точке вида (этого значения функция достигает в любой точке вида
Воспользовавшись полученными свойствами, построим график интересующей нас функции. Но (внимание!) вместо u — sin t будем писать у = sin x (ведь нам привычнее запись у = f(х), а не u = f(t)). Значит, и строить график будем в привычной системе координат хОу (а не tOy).
Приведем одну из версий происхождения термина «синус». По-латыни sinus означает изгиб (тетива лука).
Построенный график в какой-то степени оправдывает эту терминологию.
Линию, служащую графиком функции у = sin х, называют синусоидой. Ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 118 или 119, называют волной синусоиды, а ту часть синусоиды, которая изображена на рис. 117, называют полуволной или аркой синусоиды.
Изучение функции у = соs х можно было бы провести примерно по той же схеме, которая была использована выше для функции у = sin х. Но мы выберем путь, быстрее приводящий к цели. Сначала докажем две формулы, важные сами по себе (в этом вы убедитесь в старших классах), но пока имеющие для наших целей лишь вспомогательное значение.
Тригонометрические функции Cos и Sin
Формулы приведения
Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.
Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье формулы приведения .
