Алгебра Читать 0 мин.
Решение. Применяем основное тригонометрическое тождество в виде:
Решение. Из основного тригонометрического тождества $ sin^x+cos^x=1 $ следует:
Тригонометрические формулы суммы и разности двух углов
Пример. Вычислить $ \sqrt 2 (1 — \sqrt 3) sin 105^ $
$ \sqrt 2(1-\sqrt 3) sin 105^=\sqrt 2(1-\sqrt 3)\frac (1+\sqrt 3)=\frac (1^- \sqrt 3^)=0,5 \cdot (-2)=-1 $
Пример. Вычислить $ \sqrt 2 (1- \sqrt 3) cos \frac $.
$ \sqrt 2(1-\sqrt 3) cos \frac = \sqrt 2(1-\sqrt 3)( -\frac (1+\sqrt 3)=- \frac (1^- \sqrt 3^ )=-0,5 \cdot (-2)=1 $
Пример. Найдите 2cos2α, если sinα = — 0,7.
Решение. Используем формулу косинуса двойного угла: cos2α = 1 – 2sin²α.
Пример. Найдите значение выражения $ \frac \cdot cos 11^> $
Решение. Применяем формулу sin2α = 2sinα·cosα:
Пример. Найти значение выражения $ 3sin^4x $, если $ cos8x=0,5 $
Решение. Используем формулу понижения степени:
Применительно к углам 4x и 8x она будет выглядеть так:
$ 3sin^4x= 3 \cdot \frac = 3 \cdot \frac = 3 \cdot \frac = \frac =0,75 $
Тригонометрические формулы произведения
Пример. Вычислить sin 20°·sin 40°, считать, что cos 20° = 0,9
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения.
Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.
2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».
Ответ: Если в формуле присутствуют углы $ \frac $ или $ \frac $ — это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».
2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?
Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.
$ \frac $ — угол вертикальной оси, киваем головой по вертикали: «Да, меняется». Значит, в правой части будет cosα.
Угол $ ( \frac + \alpha ) $ попадает в IV четверть. Синус в IV четверти имеет знак «минус». Значит, в правой части ставим знак «минус».
Пример. Найдите значение выражения $ \frac >> $
Формулы тригонометрии | Алгебра | Теория | Решутест. Продвинутый тренажёр тестов
Практические примеры использования формул приведения
Применение формул приведения начинается еще в 9, 10 классе. Немало задач с их использованием вынесено на ЕГЭ. Вот некоторые из задач, где придется применять эти формулы:
Пример 1. Вычислите при помощи формул приведения а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.
Решение: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac3`;
Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac 8` и `cos \frac 8`; 2) `sin \frac 8` и `cos \frac 10`.
Формулы приведения в тригонометрии: примеры, таблицы, доказательства
Найдите тангенс альфа, если синус альфа
В данной статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с выражениями. Задания данной группы довольно разнообразны. Если вы запомнили свойства степеней, корней и логарифмов, знаете основные формулы тригонометрии, и постоянно практикуетесь, то большинство задач для вас никакого труда не представят.
Относительную сложность могут вызывать следующие:
— преобразования буквенных иррациональных выражений
— вычисление значений тригонометрических выражений
— преобразования тригонометрических выражений
Если перечислить все группы задач, то они довольно разнообразны.
Здесь мы с вами разберём задачи на вычисление значений тригонометрических выражений . Конечно, все их в одной статье разобрать невозможно. Но мы обязательно разберём и другие примеры, не пропустите!
Итак, что обязательно вы должны знать и всегда помнить? Это знаки тригонометрических функций в четвертях. ЭТО ВАЖНО.
Как осознать эту информацию и понять следствием чего она является – об этом будет отдельная статья (если вы это знаете, то прекрасно). Пока предлагаю пока просто запомнить:
Выполняются элементарные алгебраические преобразования:
1. Числитель и знаменатель дроби можем умножать и делить на одно и тоже число.
2. Левую и правую часть уравнения можем умножать и делить на одно и тоже число.
В представленных ниже заданиях используется основное тригонометрическое тождество и формула тангенса.
В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:
Косинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.
Теперь ВАЖНЫЙ момент: необходимо определить знак синуса для интервала (3Пи/2;2Пи). Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть). Как переводить радианы в градусы можно посмотреть здесь . Значение синуса в этой четверти отрицательное, поэтому:
В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:
Cинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества мы можем найти значение косинуса. Затем подставить их в формулу тангенса.
Определяем знак косинуса для интервала (Пи/2;Пи). Это интервал от 90 до 180 градусов (вторая четверть). Значение косинуса в этой четверти отрицательное (смотрите эскиз). Поэтому
Необходимо найти косинус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что cos 2 x = 1– sin 2 x и
Определим знак косинуса. Угол принадлежит интервалу (3Пи/2;2Пи).
Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть). Значение косинуса в этой четверти положительное, поэтому:
Необходимо найти синус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что sin 2 x = 1– cos 2 x и
Главный Попко
Основное тригонометрическое тождество
sin²α+cos²α=1 ⇒ cos²α=1-sin²α
cos²α=1-(-0,6)²=1-0,36=0,64
cos α=-0,8
знак минус так как по условию оговорено, что угол α расположен в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак минус
Главный Попко
Основное тригонометрическое тождество
sin²α+cos²α=1 ⇒ cos²α=1-sin²α
cos²α=1-(-0,6)²=1-0,36=0,64
cos α=-0,8
знак минус так как по условию оговорено, что угол α расположен в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак минус
