Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?
Короче, в любых областях, где приходилось сталкиваться с обычным треугольником и вычислением его элементов (сторон и углов) через другие его элементы, людям неизбежно приходилось сталкиваться с тригонометрией.
А дальше — теория колебаний, электричество, акустика, радиосвязь… И в основе всего этого богатства — тоже тригонометрия, да…)
И не было бы у нас сегодня ни мобильников, ни телевизоров, ни микроволновок, ни спутниковых навигаторов, ни многих других современных атрибутов комфортной жизни, кажущихся нам обыденностью…
Итак, в основе всей тригонометрии лежит обыкновенный треугольник! Да-да! Именно так.
Почему именно треугольник и откуда собственно взялось это красивое слово «тригонометрия» — об этом далее.)
Синус, косинус, тангенс и котангенс… Что за звери?
Для начала нарисуем в тетрадке самый обычный прямоугольный треугольник. Стороны его обозначим как a, b и c, а один из острых углов обозначим буквой α . Это греческая буква «альфа», при написании очень похожая на «двойку без головы». Самая распространённая буква в тригонометрии для обозначения углов. Привыкаем.)
На всякий случай, напомню, что стороны, образующие прямой угол, называются катетами (a и b — катеты), а третья сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (c — гипотенуза).
Казалось бы, треугольник и треугольник, эка невидаль! Что с ним делать-то? Спокойствие. Сейчас всё узнаете.)
Сейчас, как и древние люди, мы будем наш треугольник измерять. Да-да! Кстати, страшное слово «тригонометрия» с древнегреческого языка на русский так и переводится — измерение треугольников. Намёк понятен?)
Вот и измеряем. На рисунке специально клеточки нарисованы, как и в заданиях ЕГЭ или ОГЭ бывает. Чему равен катет a? Трём клеточкам (a = 3). А катет b? Не вопрос! Четырём клеточкам он равен (b = 4). А гипотенуза? Гипотенузу, конечно, по клеточкам не посчитаешь, но, воспользовавшись великой и могучей теоремой Пифагора, легко можно получить, что гипотенуза равна пяти (c = 5).
Кстати сказать, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 — весьма интересная фигура! Он известен ещё с античных времён и называется египетским треугольником. Ибо активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами. В том числе и при построении пирамид, между прочим.)
А вообще, целые числа a, b, c, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, т.е. для которых выполняется теорема Пифагора
в математике так и называются — пифагоровыми тройками . Тройка (3; 4; 5) — самая известная. Ещё распространена тройка чисел (5; 12; 13). Или (8; 15; 17). Таких троек известно очень и очень много. Кому интересно, прогуляйтесь по ссылке и почитайте. Для самообразования.)
Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс? | О математике понятно
Применение
Предположим, что мы работаем с числами одинарной точности IEEE-754 они имеют имена float, single и т.п. В мантиссе 23 знака, значит нам надо получить относительную погрешность 2^-23 .
Давайте оценим, как глубоко надо опуститься, чтобы построить таблицы аргументов.
Для построения таблицы перенормируем входной аргумент так, чтобы значению 0 соответствовал угол 0°, а для значения 1 — угол 45°, или pi/4=0.78539816 радиан. Тогда минимальный угол, полученный выше, будет пересчитан в 0.0006217 радиан, или примерно 1/1600 — это больше чем 1/2048 = 2^-11 .
Ремарка: запись в таблице — это пара синус и косинус аргумента. Если храним с одинарной точностью, то размер записи 8 байт.
Таблица ⚠️ косинусов: в радианах, градусах и минутах, формулы в тригонометрии
- sin x = cos (90° — x)
- cos x = sin (90° — x)
- sin -x = -sin x
- cos -x = cos x
- В общем случае sin (90°N ± x) = ±cos x для нечётных N и ±sin x для чётных. Знак берётся исходя из знака аргумента в соответствующей четверти круга.
Пример
Давайте для примера возьмём разложение 4+4+3, а потом обобщим.
Итак, задача: вычислить значение sin x для произвольного x .
Шаг 1. Приведём аргумент x к нашей шкале, поделив его на константу pi/4 (назовём его x’ ).
Шаг 2. В зависимости от значения аргумента x’ используя формулы (1) выберем нужную функцию таким образом, чтобы аргумент её был в диапазоне от 0 до 1 (включительно) (назовём x» . На этом шаге также нужно будет отметить знак получаемого результата.
Шаг 3. Воспользуемся таблицами (напомню, что их 3), при этом индексами в таблице будут «битовые поля» в двоичном представлении аргумента x» — первые 4 бита после запятой, потом ещё 4, и ещё 3, а оставшиеся не при делах биты пойдут в остаток.
Табличные синус назовём S1, S2, S3, табличные косинусы — C1, C2, C3.
Поскольку угол мы делили на pi/4 , то чтобы получить остаток в радианах, его надо умножить на эту же величину. «Битовый» остаток, умноженный pi/4 , обозначим как A. Тогда его синус будет равен A, а косинус — 1.
Шаг 4. Объединяем всё, что получилось:
|sin x| = S123 + C123 A (если на шаге 2 получили синус)
|sin x| = C123 — S123 A (если на шаге 2 получили косинус)
Шаг 5. Если на шаге 2 мы сочли, что результат должен получиться отрицательным, то этот минус надо ввести в результат.
Варианты таблиц
Таблица косинусов углов в радианах и градусах
Радиан — это величина центрального угла, который опирается на дугу, равную радиусу окружности.
Также есть расширенный вариант таблицы, основанный на свойстве периодичности.
Периодическая функция повторяет свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента.
Для косинусов и тангенсов углов значения функции повторяются с отрицательным знаком через каждые 180°. То есть если при 0° косинус угла равен 1, то при 180° он будет равен -1.
Таблица Бардиса
Она позволяет определить косинус угла с точностью до 4 знаков после запятой. В ней содержатся значения углов в градусах и минутах.
Для косинуса: значение угла в градусах находятся в таблице справа, в минутах — снизу.
Например, косинус угла в 10°12′, нужно искать на пересечении значения в 10° (4 справа столбик под обозначением «А») и 12′ (самая нижняя строка таблицы). Косинус равен 0,9842.
В таблице представлены только углы, кратные шести минутам. Поэтому если нужного значения нет в таблице, надо работать с поправками в 1,2,3 минуты.
В таблице находим косинус угла 15°6′: он равен 0,9655. И прибавляем необходимую поправку в 1′.
Соотношение между синусом и котангенсом:
Формулы приведения
Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.
Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье формулы приведения .
